Tasks

Úlohy

All task suppose that the topic (solving Schrödinger equation for Coloumb potential in x-representation) was lectured previously. But crucial parts are remembered and summarized here.

V zadání úkolů se předpokládá, že jejich řešitel zná (alespoň v hrubých rysech) postup při řešení Schrödingerovy rovnice pro Coloumbický potenciál (v souřadnicové reprezentaci). Důležité kroky a tvary funkcí jsou ale u zadání shrnuty a připomenuty.

According to our experience, students’ understanding of this topic after passing only the lecture is not very deep. Although they are able to follow (or even reproduce) the derivation of the eigenstate functions and write their formulas, they are not able to imagine the function correctly. We assume that after solving the tasks, students built up their own spatial image of the orbitals.

Podle naší zkušenosti pochopení daného tématu po vyslechnutí přednášky nebo přečtení příslušné kapitoly v knize nebývá příliš hluboké, a to ani v případě, že student je schopen odvození vzorců zreprodukovat. Studenti si často nedovedou dané funkce představit. Předpokládáme, že vyřešením následujících úloh by si studenti měli být schopni postupně vybudovat vlastní prostorovou představu orbitalů.

All tasks are divided to five step. We recommended to solve them in given order. Before you start you have to dowload and install computer tools:

Úlohy jsou rozděleny do pěti částí. Doporučujeme je řešit v uvedeném pořadí. Než se do řešení pustíte, je třeba ale stáhnout a nainstalovat zobrazovací programy. Pokud se nechcete číst zadání úlohy na monitoru, můžete si v záhlaví každé kapitoly stáhnout a vytisknout soubor ve formátu pdf se stejnými úlohami nebo si stáhnout přímo celý pracovní sešit.

Kapitoly

• Spherical coordinates - we suppose basic knowledge of spherical coordinates but before we start it's a good idea to familiarize with them further (this step is supported by 3d_line tool)
• Wave functions of hydrogen atom eigenstates – theoretical section – remembering of coordinates’ separation in the wave function, formulas of eigenstates and the role of quantum numbers
• Legendre polynomials – through using program Legendre_2D, we should understand and get used to different types of graphs in which the functions of coordinate θ can be drawn
• Spherical harmonics - we build up an spatial image of the Legendre polynomials’ square (using program Legendre_3D)
• Radial part - we combine angular and radial parts together and draw probability density graphs (using 3D_orbits tool), at the end of this section there is an explanation of difference between radial probability density and radial part of the probability density

• Sférické souřadnice – úlohy předpokládájí základní znalost sférických souřadnic, ale pro řešení dalších částí je vhodné si připomenout jejich definici a trochu si je procvičit (v této části se používá program 3d_poloprimka)
• Vlnová funkce vlastního stavu atomu vodíku – teoretická část – připomenutí separace souřadnic ve vlnové funkci, tvaru jednotlivých částí vlnové funkce a kvantových čísel
• Legendrovy polynomy – pomocí programu Legendre_2D se seznámíme a zvykneme si na různé typy grafů, do kterých lze kreslit funkce závisející na souřadnici θ
• Kulové funkce – vytvoříme prostorový obraz kvadrátu Legendrových polynomů (pomocí programu Legendre_3D)
• Radiální část – zkombinujeme úhlovou a radiální část dohromady a zobrazíme si grafy hustoty pravděpodobnosti (v programu 3D_orbitaly), na konci této části je vysvětlen rozdíl mezi radiální hustotou pravděpodobnosti a radiální částí hustoty pravděpodobnosti

Theoretical base

Teoretický základ

The tasks are based on students’ active work with the computer tools and were designed according to the principles of experiential learning (to be specific, according to the Kolb’s learning cycle). Let’s go through the scheme of each part of the workbook. Kolb’s stages are indicated in the brackets.

Úlohy jsou založeny na aktivní práci studentů s připravenými programy. Pořadí úloh bylo navrženo na základě principů zážitkové pedagogiky (hlavně Kolbova cyklu učení). V následujích odstavcích je naznačen základní postup. Fáze Kolbova cyklu jsou uvedeny v závorkách.

• Firstly, students are asked to play with each program arbitrarily and build up their own hypotheses (on the basis of previous knowledge) on what do the programs draw. (Concrete experience) This part should also fulfil their need to play and enjoy the nice pictures before they started serious work.
• As the second step the students confront their hypotheses with explanation offered in their worksheet. (Reflective observation)
• Then they are asked to “prepare a plan” how to redraw one type of graph to others or how to build 3D plot from planar cut. (Abstract conceptualisation)
• In the final step they use their “plan” and solve “redrawing” or other tasks. (Active experimentation with new concrete experience) They check their answers immediately. This enables them to correct the tasks as well as their solving methods. (Reflective observation)
• In the end of each section they should name the pros and cons of different ways of how the functions can be illustrated. (Reflective observation)

• Nejprve je studentům ponechán čas na to si s každým programem zcela volně hrát, vytvořit si vlastní hypotézy (na základě předchozích znalostí), co zobrazuje. (Konkrétní prožitek) Studenti také potřebují nejprve uspokojit svoji potřebu obdivovat a zcela volně si pohrát s „pěknými obrázky” před tím, než začnou pracovat.
• V druhém kroku studenti zapíší svá pozorování a konfrontují je s uvedeným vysvětlením. (Reflektivní pozorování)
• Potom jsou studenti vedeni k tomu, aby si více všímali detailů jednotlivých typů grafu a „připravili si plán”, jak by se dal jeden graf překreslit na jiný nebo jak z rovinného grafu vytvořit prostorový. (Zobecnění)
• V dalším kroku studenti použijí svůj „plán” při překreslování grafů. (Aktivní použití a získání dalších konkrétních zážitků) Svá řešení si mohou ihned zkontrolovat a případně popravit svoji „překreslovací metodu”. (Reflektivní pozorování)
• V závěru každé části mají studenti napsat výhody a nevýhody, které spatřují v použití jednotlivých typů zobrazení. (Reflektivní pozorování)

Besides the more common questions we used so-called “redrawing” tasks for which the computer tools were equipped by the independent graph switching. Follow picture below. At first the students switch off all graphs, adjust quantum numbers and switch on only one of the graphs (left part). Then they try to redraw it into the other types in their workbook. In the middle you can see one of students’ solutions. Finally they switch on all graphs again and correct their work themselves. Then students repeat “redrawing” with modified initial settings – different quantum numbers and different type of graph switched on at the beginning.

Vedle běžných otázek a úkolů jsou v pracovním sešitě použity i tzv. „překreslovací úkoly”, kvůli kterým mají zobrazovací programy nezávislé vypínání grafů. Sledujte následující obrázek. Nejprve student vypne všechny grafy, nastaví kvantová čísla na zadané hodnoty a potom zapne pouze jeden graf (obrázek vlevo). Potom se pokusí do svého pracovního sešitu nakreslit zbývající grafy. Uprostřed je vidět příklad jednoho řešení. Nakonec zapne znovu zobrazení všech grafů a zkontroluje svoje řešení (obrázek vpravo). Poté pokračuje s jinými kvantovými čísly a jiným počátečním typem grafu.

We found this type of activity very suitable for the chosen approach – experiential learning.

Tento typ úkolu se velmi hodil do námi zvoleného přístupu.