Legendrovy polynomy

Legendre polynomials

Poznámka: Úkoly v této kapitole budete řešit pomocí aplikace s názvem Legendre_2D.

Note: Tasks inside this chapter require the application Legendre_2D.

V této kapitole se budeme zabývat částí T_ml(θ) vlnové funkce, která závisí na úhlu θ - její tvar určuje tzv. přidružený Legendrův polynom, do kterého dosadíme cos θ. Přidružený Legendrův polynom je určen dvěma indexy (tzv. stupeň a řád) a tyto indexy odpovídájí kvantovým číslům l, m příslušného stacionárního stavu. V programu se indexy nastavují vlevo nahoře a program nepovolí nastavit nedovolenou kombinaci těchto čísel. Po změně hodnot program překreslí všechny grafy (může to chviličku trvat, protože veškeré funkce se opravdu počítají bod po bodu). Pro nízké hodnoty kvantových čísel se zobrazí i analytický tvar vykreslované funkce („vzoreček”).

Our interest should be now aimed at part T_ml(θ) of the wave function that depends on the angle θ - its shape is given by the so-called associated Legendre polynomial with argument cos θ. The polynomial is specified by two indices and these indices correspond to quantum numbers l, m of the corresponding eigenstate. The numbers are set in the top left corner of the application window. The program accepts only a valid combination of quantum numbers. When the values are set, all of the graphs will be redrawn which may take a while. If the quantum numbers are low, also the formula of the polynomial will be displayed.

Program zobrazuje stejný polynom ve třech dvojicích různých typů grafu. Aby se nám o nich lépe hovořilo, očíslujeme si grafy podle následujícího schématu:

Program shows the same polynomial in the three different couples of graphs. To simplify description we label the graps by numbers according the scheme:

1.) Pohrajte si s programem, vyzkoušejte různé hodnoty l, m. Vytvořte vlastní hypotézy, jak jednotlivé grafy interpretovat, jak spolu souvisí. Všechny své nápady si poznamenejte. Prosím nečtěte vysvětlení uvedené dále, ale opravdu se pokuste na to přijít sami.

1.) Play with the program, try different values of l, m. Create your own hypotheses of intepretation of the displayed graphs and their connection. Write down all your ideas. Please do not read the explanation below but try to discover it yourself.

Popis jednotlivých grafů

Description of the graphs

V následujícím textu jsou popsány jednotlivé grafy, které program zobrazuje. Text si pečlivě přečtěte a promyslete. Zkuste označit jeho části, které jste odhalili sami.

The following text describes all of the graphs contained in the program. Read the text carefully and think through. Try to mark the parts that you have discovered before.

Graf 1 je klasický kartézský graf, ve kterém je zakreslen Legendrův polynom. Všimněte si, že proměnná θ nabývá hodnoty mezi 0 a π.

Graph 1 is the traditional XY-graph containing Legedre polynomial. Note that the variable θ is between 0 a π.

V grafu 2 je osa z orientována svisle. Jak už víme, úhel θ je úhel mezi osou z a vybraným směrem (polopřímkou vycházející z počátku). Hodnota polynomu pro daný úhel θ je vyjádřena „intenzitou“ (sytostí, jasností) barvy, jakou je příslušná polopřímka nakreslena. Pokud je hodnota kladná, je použita červená barva, pro záporné hodnoty barva modrá.

Axis z in graph 2 has vertical orientation. As we already know, the angle θ is the angle between z axis and the selected direction (a halfline starting at the origin of the coordinate system). The value of the polynomial at a given angle θ is expressed by the colour “intensity” (brightness) of corresponding halfline. If the function value is positive, the line is red, otherwise it is blue.

Při konstrukci grafu č. 3 (tzv. polární graf) vynášíme hodnoty polynomu opět na příslušné polopřímky vycházející z počátku. Vezmeme polopřímku pro dané θ a na ní vyneseme úsečku, jejíž délka odpovídá funkční hodnotě pro tento úhel. Protože je vynášená funkce spojitá, vytvoří koncové body všech úseček pěknou hladkou křivku, která je zobrazena. Naopak pokud potřebujeme odečíst hodnotu z tohoto grafu, tak postupujeme obráceně. Najdeme polopřímku určenou úhlem θ a změříme vzdálenost počátku souřadnic a průsečíku dané polopřímky s grafem. Změřená vzdálenost odpovídá hodnotě funkce pro celou polopřímku (všechny body na polopřímce mají stejný úhel θ, tedy stejnou funkční hodnotu). Barvy zde fungují podobně jako v grafu 2.

Graph no. 3 (so-called polar graph) is constructed again from halflines starting at the coordinate system origin. We take a halfline with a given θ and mark on it the length that corresponds to the function value for this angle. Because the displayed function is continuous, the marks form a smooth curve. If we need to read out values from this kind of graph, the process is inverted. We find a halfline given by the angle θ and measure the distance between the origin and the intersection of the halfline with the graph. The measured value is the function value for the entire halfline (all points on the halfline have he same angle θ, so they have to have same functional value. The colours are the same as in graph 2.

Spodní řada grafů (grafy 4, 5, 6) přesně odpovídá horní řadě, pouze je ve všech vykreslena (stejným způsobem jako nahoře) druhá mocnina daného polynomu.

The graphs in bottom line (4, 5, 6) exactly correspond to the top line. The only difference is that the displayed value is not the value of the polynomial itself but its square.

2.) Zaměřme pozornost ještě jednou na grafy 2 a 3. Než budete číst dál, zkuste se zamyslet nad tím, proč je využita jenom půlka prostoru, který jim je vymezen.

2.) Now let's aim our interest to graphs 2 and 3 again. Before reading further, try to think out why only one half of the space of the graphs is used.

Vysvětlení

Explanation

Jejich svislá osa odpovídá reálné ose z a vodorovná ose x (nebo y). Ale každý úhel θ odpovídá dvěma různým polopřímkám vycházejícím z počátku souřadnic, které jsou vzájemně zrcadlově symetrické vůči ose z. Nic nám nebrání v tom, vykreslit náš polynom i pro polopřímky v levé části grafu - ozrcadlením (viz tlačítko Zrcadlení). Nezískáme tím sice žádnou novou informaci o daném polynomu, ale výsledný obrázek bude lépe odpovídat „skutečnému prostorovému průběhu” dané funkce.

The vertical axis on these graphs corresponds to real z-axis and horizontal to x-axis or y-axis. But each angle θ corresponds to two different halflines starting at the origin of coordinates system that are symmetric with the axis of symmetry z. There is no problem to draw the polynomial values for the halflines at the left part of the graph by mirroring the right part (by pressing the button Mirroring). By this action we do not get any new information on the studied polynomial, however, the image would better fit to the “real spatial behaviour” of the given function.

Pozor - při zapnutém zrcadlení, nezobrazují grafy 2 a 3 průběh daného polynomu pro θ od 0 do 2π, ale opravdu zrcadlí průběh od 0 do π podle osy z.

Warning - when mirroring is set to on, graphs 2 and 3 do not show the behavoiur for θ between 0 and 2π, but really do mirror the values from 0 do π by z-axis.

3.) Zkuste najít polynom, na kterém lze rozlišit zrcadlení a nakreslení jeho průběhu v intervalu 0 až 2π.

3.) Try to find a polynomial where the difference could be observed.

l =       m = 

4.) Ověřte všechny uvedené vlastnosti grafů na zobrazení několika různých polynomů - tj. zobrazte si několik různých polynomů a prozkoumejte jednotlivé grafy, zda opravdu odpovídají tomu, co bylo napsáno výše. Speciálně se zaměřte na to, jak poznat minima a maxima v jednotlivých typech grafů a zda si vzájemně odpovídají.

4.) Check all the mentioned properties of the graphs on a few different polynomials - i.e. display a few different polynomials and try to find whether the description above fits. Especially think of how to find maxima and minima on all types of graphs and whether they correspond between the graphs.

K řešení další úlohy budete potřebovat tužky dvou barev, ideálně modrou a červenou. Pokud použijete jiné dvě barvy, poznamenejte si, která hraje roli jaké barvy.

For the solution of the next task you will need pencils of two colours, preferably red and blue . If you use another two colours, note down which colour has which role.

Teď si ověříte, že jednotlivým typům grafů opravdu rozumíte. Vpravo nad každým grafem je malé tlačítko, kterým lze vypnout a zapnout jeho zobrazování. Navíc nahoře vpravo jsou tlačítka, kterými lze vypnout či zapnout všechny grafy najednou. Před řešením dalšího úkolu zapněte zrcadlení a vypněte zobrazení všech grafů.

In the following task you will check if you do really understand these types of graphs. Above the top right corner of each graph is a small button that turns the graph on and off. Furthermore, in the top-right area of the application window are buttons that can turn on and off all of the graphs at once. Before starting the solution of the next task, please turn on mirroning and turn all the graphs off.

5.) a) Nastavte tyto hodnoty kvantových čísel: l = 4, m = -1. Potom zapněte pouze graf 1. Načrtněte, jak budou vypadat ostatní grafy. Při kreslení pomůže, pokud si nejprve vytvoříte „mřížku” podobnou té nakreslené níže. Snažte se zachytit intenzitu barvy např. hustotou šrafování, dejte pozor na správné použití barev.

5.) a) Set these values of quantum numbers: l = 4, m = -1. Then turn on only graph 1. Now draw (sketch) the shapes of all other graphs. It would help you if you before the actual start prepare a “grid” similar to the one below. Try to represent the colour intensity somehow, e.g. by density of shading. Take care of proper use of colours..

Až budete mít vše zakresleno, zkontrolujte si správnost tím, že opět zapnete všechny grafy.

After you are finished with all graphs, check your result by turning all graphs back on.

b) Opět vypněte všechny grafy, nastavte l = 4, m = 2. Zapněte tentokrát graf č. 2 a nakreslete ostatní. Po načrtnutí si nezapomeňte své výsledky zkontrolovat.

b) Now turn all graphs off again and set values l = 4, m = 2. This time turn on graph no. 2 and sketch all others. Don't forget to check your results after.

c) A poslední varianta, vypněte opět všechny grafy, nastavte l = 3, m = 2, zapněte graf 3, dokreslete ostatní a zkontrolujte své výsledky.

c) The last variant. Again, turn off all graphs, set l = 3, m = 2, turn on graph 3, draw the other ones and check your results..

Pokud jste v tomto úkolu udělali více chyb nebo si nejste jistí tím, že podle jednoho typu grafu správně vytvoříte tvar jiného typu, vyřešte si ještě několik podobných úloh dle svého výběru. Je důležité si nejenom představit nebo říci, jak bude funkce vypadat, ale opravdu se pokusit ji zachytit na papír, protože tím jste nuceni přemýšlet o výběru barvy, intenzitě šrafování, velikosti „kopečků” a dalších detailech. Také lépe na první pohled odhalíte, jak moc jste se trefili.

If you made many mistakes or you are not sure that you can create the shape of all graphs from one of them, do some more tasks with different numbers l and m. It is important not only to try to imagine the behaviour of the function, but to really try to draw it on the paper because thus you have to think about the choice of colour, intensity of shading, size of peaks etc., and you can better decide how good is the similarity between your picture and the graph on the computer.

6.) S grafem 1 se běžně pracuje v hodinách matematiky i fyziky na SŠ, zbylé dva typy se používají velmi zřídka (nejenom na SŠ). Aniž byste si znova četli jejich vysvětlení, zkuste zformulovat vlastními slovy na základě zkušeností získaných v předchozím příkladě, co vyjadřují (např. jak byste vysvětlili někomu, kdo je vidí poprvé, jak jim rozumět).
a) graf 2
b) graf 3

6.) Graph 1 is common in maths and physics lessons, the other two are used very rarely. Without reading their explanations again try to express with your own words an explanation of their function (e.g. for someone who meets them at the first time in his life).
a) graph 2
b) graph 3

7.) Zkuste porovnat výhody a nevýhody jednotlivých typů zobrazení. Napadá vás něco z praktického života, co by se dalo dobře kreslit právě pomocí těch méně běžných grafů?

7.) Try to compare the advantages and disadvantages of all types of the graphs. Have you any idea of something from real life that would be suitable for being imaged by these not so common graphs?

8.) Otázka spíše fyzikální. Proč nás zajímá i druhá mocnina Legendrova polynomu?

8.) A question from physics: Why are we also interested in the square of Legendre polynomial?