Radiální část vlnové funkce

Radial part of the wave function

V této kapitole se dostáváme k radiální části vlnové funkce. Připomeňme si její tvar:

In this part we get to the radial part of the wave function. Let's remember its formula:

kde a = 5,3·10^-11 m je tzv. Bohrův poloměr a L_nl je polynom. Tato část udává, jak se mění vlnová funkce se vzdáleností od počátku r.

where a = 5,3·10^-11 m is the so called Bohr radius and L_nl is a polynomial. This part determines the behaviour of the wave function in dependence on distance from the origin of coordinate system r.

Celá vlnová funkce je součinem radiální a úhlové části. Hustota pravděpodobnosti výskytu elektronu je dána druhou mocninou celé vlnové funkce, resp. přesněji

Wave function is the product of radial and angular part. The probability density of finding electron is given by square of the wave function, or (being more accurate) by

Právě tuto funkci se budeme snažit zobrazovat v této části.

This function we are going to display in this part.

1.) Pro tuto kapitolu je připraven program 3D_orbitaly. Než se pustíme do dalšího výkladu a práce, pusťte si ho a vyzkoušejte, co zobrazuje.

1.) In this chapter we will use the program 3D_orbitals. Before starting further work, run it and try out its possibilities.

Zavedeme si opět očíslování grafů.

At first we'll number the graphs.

Grafy 1 a 2 již znáte z přechozích částí (zobrazují druhou mocninu úhlové části - tzv. úhlovou část hustoty pravděpodobnosti), graf 4 vlevo dole zobrazuje druhou mocninu radiální části vlnové funkce (tj. radiální část hustoty pravděpodobnosti), tj. R_nl². Grafy 3 a 5 se snaží zachytit celkovou hustotu pravděpodobnosti nalezení elektronu v daném stacionárním stavu.

You should already know the graphs 1 and 2 from previous chapters (they display |Y|²), graph 4 in the left bottom part displays the square of radial part of wave function, i.e. R_nl². Graphs 3 and 5 show the entire probability of finding electron at the given eigenstate.

2.) Zkuste přijít na to, co přesně zobrazují grafy 3 a 5 a jak spolu souvisí. Pomoci vám může modrý posuvník vlevo dole. Než budete číst dál, napište své postřehy:

2.) Try to find out what is shown on graphs 3 and 5 and how they are connected. The blue slider at left bottom might help you. Before reading further, try to write down your ideas.:

Vysvětlení grafů

Explanation of the graphs

Jak již bylo napsáno výše grafy 3 a 5 zobrazují hustotu pravděpodobnosti výskytu elektronu pomocí intenzity červené barvy. Graf 3 ukazuje řez libovolnou rovinou, která obsahuje osu z (ta je umístěna svisle). Díky nezávislosti |ψ_nlm|² na φ jsou všechny tyto řezy stejné (vzpomeňte si na tvar vlnové funkce). Prostorovou závislost bychom získali, pokud bychom tento graf roztočili kolem osy z.

As mentioned before, graphs 3 and 5 display the probability density of finding electron by the intensity of red colour. Graph 3 shows a cut through any plane containing z-axis (placed vertically in the graph). Due to the independence of |ψ_nlm|² on φ are all these cuts identical (remember the shape of wave function). We would get spatial shape by turning this graph around z-axis.

Poznámka: Hustota pravděpodobnosti je ve většině míst velmi malá. Tak malá, že červená je velmi málo intenzivní, až téměř nejde odlišit od černé. Graf 3 se tedy zdá skoro celý černý. Tyto méně zřetelné oblasti s nenulovou hustotou pravděpodobnosti si můžete zvýraznit tím, že posunete dolů modrý posuvník na barevné škale vpravo od tohoto grafu. Místa, ve kterých je hustota pravděpodobnosti vyšší než odpovídá aktuální poloze tohoto posuvníku, se vykreslí bíle. Pro hustotu pravděpodobnosti nižší se využije opět celá škála černá-červená, proto se zvýrazní i místa, která byla předtím „příliš málo červená”.

Note: The density of probability is mostly very low. This means that the red colour is so dark that it cannot be distinguished from black background. Almost entire graph 3 therefore seems to be empty (i.e. black). You can brighten these dark but not black places by pulling down the blue slider on coloured bar on the right-hand side of the graph. Places that have higher density of probability than is the actual position of the slider will be displayed in white colour, the rest will be rescaled to use full range of red colour brightness.

Graf 5 se snaží o prostorové znázornění hustoty pravděpodobnosti. Hustota pravděpodobnosti je zobrazena na povrchu koule se středem v počátku souřadnic. Poloměr koule se nastavuje posuvníkem vlevo dole. O jeho velikosti nás informuje poloha žluté úsečky v grafu 4 a kružnice v grafu 3, ale z důvodu pěkného zobrazení se obrázek koule (i když reálně měníme její rozměry) vykresluje stále stejně velký. Koulí lze otáčet a přesvědčit se tak o symetrii hustoty pravděpodobnosti vůči ose z.

Graph 5 is a spatial representation of density of probability. The density of probability is displayed on the surface of a sphere (centred at the origin of coordinates system). The radius of the sphere is set by the blue slider in the left bottom part of the window and is displayed as a yellow line in graph 4 and yellow circle in graph 3. The dimension of the displayed sphere doesn't change, but the values (colours) correspond to values at the radius given. You can turn the sphere around and check the z-axis symmetry of the probability density.

3.) Zkuste si vytvořit nějaký postup, jak z grafů, na kterých je zachycena pouze úhlová (grafy 1 a 2) a pouze radiální část (graf 4), vytvořit graf celkové hustoty pravděpodobnosti (graf 3).

3.) Try to think of a method how to create a graph of entire density of probability (graph 3) from graphs that show only the angular part (graphs 1 and 2) and radial part (graph 4).

4.) Prakticky ověřte své nápady. Pomocí malého tlačítka v pravém horním rohu grafu 3 ho vypněte. Nastavte zadané hodnoty kvantových čísel a pokuste se nakreslit, jak bude graf 3 vypadat. Potom si své výsledky zkontrolujte.
a) n = 3, l = 0, m = 0
b) n = 4, l = 3, m = 1
c) n = 4, l = 2, m = 1

4.) Test your ideas. Turn off graph 3 (using the small button in the top right corner), set given values of quantum numbers and try to draw the shape of the graph. Then check your results.
a) n = 3, l = 0, m = 0
b) n = 4, l = 3, m = 1
c) n = 4, l = 2, m = 1

5.) Zkuste porovnat obě zobrazení hustoty pravděpodobnosti (graf 3 a 5), jejich názornost či vhodnost.

5.) Try to compare both ways of displaying density of probability (graphs 3 and 5), their clearness and suitability.

A teď ještě dvě úložky fyzikální, ve kterých se zaměříme pouze na radiální část:

Now two tasks from physics, aimed at the radial part:

6.) Někdy je hodnota radiální části vlnové funkce pro r = 0 (tj. v počátku souřadného systému) nulová, někdy ne. Zobrazte si několik různých vlnových funkcí a najděte jednoduché pravidlo, jak z kvantových čísel poznat, zda tento případ nastává či nikoli.

6.) The value of radial part for r = 0 is sometimes equal to 0, but not everytimes. Look at a few different wave functions and find an easy rule for quantum numbers.

7.) Tentokrát se zaměříme na počet nulových bodů. Pozor nebudeme započítávat případnou nulovost pro r = 0 (tj. v počátku) a pro r → ∞. Zkuste najít vzoreček, jak z hodnot kvantových čísel určit počet těchto nulových bodů.

7.) Display again a few radial parts, but now observe the number of points where the value is zero. Note, we are not interested in points r = 0 (i.e. in the origin) and for r → ∞, even if the value there was 0. Try to find a formula predicting number of these zero points from quantum numbers.

Poznámka o radiální hustotě pravděpodobnosti:

A note on radial density of probability:

Možná vás v úloze 6. překvapilo, že pro některé stacionární stavy má radiální funkce svoje maximum v počátku soustavy souřadné - tj. že je nejpravděpodobnější najít elektron uprostřed atomu. U úvah tohoto typu - jak je pravděpodobné najít elektron někde - si musíme dát pozor, zda nás zajímá opravdu konkrétní místo, nebo (což je častější) v jaké vzdálenosti od středu atomu elektron najdeme. Pokud nám jde pouze o vzdálenost mluvíme o tzv. radiální hustotě pravděpodobnosti. Tu získáme tak, že „vyintegrujeme” hustotu pravděpodobnosti přes povrch koule (to jsou body, kde má elektron požadovanou vzdálenost). Např. pro l = 0 nezávisí vlnová funkce na úhlech a hledaná radiální hustota pravděpodobnosti by byla ρ(r) = povrch koule · |ψ|² = 4πr² R². Vidíme, že člen r² nám spolehlivě vynuluje ρ(r) pro r = 0, a tedy velmi malé vzdálenosti elektronu od jádra nejsou příliš pravděpodobné.

Maybe you were surprised that in the task 6 the radial part of some eigenstates has maximum at the origin of coordinate system, i.e. it is most probable to find an electron in the middle of the atom. We have to be very careful when thinking of probability of finding electron somewhere, whether we are interested in a specific place, or (which is more usual) in a specific distance from the centre of atom. If we are interested only in the probability of finding at a given distance, we mean the so called radial density of probability. We get it by “integrating” the density of probability on surface of a sphere (these are the points of given distance from centre). For example, for l = 0 the wave functions does not depend on angles and the radial density of probability would be ρ(r) = sphere surface · |ψ|² = 4πr² R². We can see that the term r² zeroizes ρ(r) at r = 0 and therefore aren't small distances between electron and nucleus very probable.

Můžeme se na to podívat ještě jinak. Hustota pravděpodobnosti se vzdáleností klesá, ale povrch koule, na které hledáme elektron naopak roste, takže výsledná radiální hustota závisí na tom, jak dopadne porovnání těchto dvou protichůdných vlivů. Naštěstí exponenciální pokles R je dostatečně rychlý, takže v opravdu velkých vzdálenostech od jádra se elektrony vyskytují jen s velmi malou pravděpodobností.

We can have another look. The density of probability falls with radius but the surface of the sphere, where we are looking for an electron, is rising. Therefore the final density of probability depends on comparison of these two contradictory effects. Luckily, the exponential fall of R is quick enough which means that the probability of finding electron at large distances from nucleus is very low.

Hustota pravděpodobnosti výskytu elektronu, resp. radiální část hustoty pravděpodobnosti a tato radiální hustota se velmi často nesprávně zaměňují!

The probability density of finding electron and this radial density are often mismatched!