Pro řešení stacionární Schrödingerovy rovnice atomu vodíku (tj. Coloumbického potenciálu) je velmi výhodné použít sférické souřadnice. Věnujme teď pár minut tomu, že si připomeneme jejich vlastnosti.
The spherical coordinates are very useful for solving Schrödinger equation of the hydrogen atom (Coloumb potential). That's why we spend a while discussing their properties.
definice: definition: |
x = r sin θ cos φ |
Při řešení a pro kontrolu úloh v této části můžete použít aplikaci 3D_poloprimka. Tento program zobrazuje polopřímku, která je zadána pomocí úhlu θ, φ. Oba úhly můžete měnit pomocí dvou posuvníků („šoupátek”) nahoře nad grafem.
You can use the tool 3D_line for solving and checking results of tasks in this section. The tool shows a halfline defined by two angles θ, φ (spherical coordinates). Both of them can be changed by sliders above the plot.
1.) Vyzkoušejte si v tomto programu, jak se projevuje změna obou úhlů.
1.) Firstly, let's try out the tool. Observe carefully the results of the angles changing.
2.) Nakreslete obrázek, který odpovídá naší definici sférických souřadnic, a vyznačte do něj souřadnice x, y, z, r, θ, φ. Slovně popište význam sférických souřadnic a určete, jakých hodnot mohou nabývat:
a) r ...
b) θ ...
c) φ ...
2.) Draw a plot of spherical coordinate system according to given definition. Draw all coordinates x, y, z, r, θ, φ there. Describe meanings of spherical coordinates and define the range of their values.
a) r ...
b) θ ...
c) φ ...
Pokuste se následující úlohy vyřešit úvahou. Pokud se vám to nebude dařit, použijte uvedený program. Zkusmo nastavte pohyblivou polopřímku do požadované pozice a odečtěte hodnoty úhlů. Stejným způsobem si můžete zkontrolovat své výsledky.
Try out to solve following task in your mind. If you find it too difficult, use the tool. Experimentally place the line in the required position and then read the angles' values. You can check your answers the same way.
3.) V kartézských souřadnicích je osa x popsána podmínkou, že y = 0 a z = 0. Jak bude tato podmínka vypadat ve sférických souřadnicích zapsaná pomocí úhlů? Napište tyto
podmínky pro všechny tři kartézské osy.
a) osa x:
b) osa y:
c) osa z:
3.) In the xy-coordinate the x-axis is defined by equations
y = 0 and z = 0. How to define this axis using spherical coordinates? Try to find out definitions of all three axes.
a) x-axis:
b) y-axis:
c) z-axis:
4.) Podobně jako v předchozím úkolu popište následující roviny:
a) rovina xy (tj. rovina daná podmínkou z = 0)
b) rovina xz
c) libovolná rovina obsahující osu z
4.) Similarly as in the previous task, define the following planes:
a) plane xy (i.e. plane defined by the equation z = 0)
b) plane xz
c) arbitrary plane containing the z-axis
5.) Jaký geometrický útvar tvoří všechny body, které
a) mají stejnou (pevně danou) souřadnici r, ale liší se ve θ, φ?
b) mají stejnou (pevně danou) souřadnici θ
c) mají stejnou (pevně danou) souřadnici φ
5.) What is the shape consisting of all points that have
a) the same coordinate r, but different coordinates θ, φ?
b) the same coordinate θ
c) the same coordinate φ
6a.) Jestliže nějaká (skalární) funkce prostorových souřadnic nezávisí na r, co to pro ni znamená? Jak vypadají místa, kde má tato funkce stejnou hodnotu?
6a.) What does it mean that some (scalar) function of spatial coordinates is independent on the coordinate r? Define places of same function value?
6b.) Vyřešte předchozí úlohu i pro funkci nezávislou na θ, φ, resp. nezávislou na obou úhlech.
6b.) Solve the previous task also for a function independent on the coordinate θ or φ, or on both of them.