Kulové funkce

Spherical harmonics

V této kapitole se budeme zabývat celou úhlovou částí Y_ml vlnové funkce (tzv. kulovými funkcemi). Už víme, že část závislá na φ (tj. U_m(φ)) je poměrně jednoduchá. Je to také jediná část celé vlnové funkce, která je komplexní.

In this section we will deal with the entire angular part Y_ml of the wave function (the so-called spherical harmonics). We have known that the part depended on the coordinate φ (i.e. U_m(φ)) is quite simple and it is the only complex part of the wave function.

1.) Připomeňte si, jak to dopadne s komplexností a závislostí na obou úhlech, pokud spočítáme |Y_ml(θ, φ)|²?

1.) Remember what happen with the complexity and the dependence on the both angles if we calculated |Y_ml(θ, φ)|²?

Na kulové funkce se budeme dívat jako na funkce všech tří prostorových proměnných r, θ, φ. Protože tato funkce nezávisí na r, má stejnou hodnotu podél každé polopřímky vycházející ze středu.

We will deal with spherical harmonics as functions of the all three spatial coordinates r,θ, φ. Because they are independent on r, they have the same value alongside any halfline starting from the origin of the coordinate system.

Pro tuto kapitolu je připravena aplikace Legendre_3D, ve kterém se seznámíme i s prostorými možnostmi zobrazení. Program je velmi podobný programu Legendre_2D, který jsme používali v předchozí kapitole. Grafy si opět očíslujeme, aby se nám o nich lépe hovořilo.

The tool Legendre_3D is prepared for this section to familiarize with the spatial versions of visualisation. It is very similar to the one used in the previous section. For simplicity we again label the graphs by numbers:

V celé této kapitole budeme kreslit druhé mocniny Legendrových polynomů. Jak již naznačil první úkol, tak se druhá mocnina kulové funkce rovná druhé mocnině Legendrova polynomu. To také přirozeně znamená, že námi vykreslované funkce nezávisejí ani na φ a jsou všude kladné (nebo nulové).

In the entire section we will draw the square of the Legendre polynomials. It means that plotted functions will not depend on φ and will be positive (or equal to 0).

2.) Zkuste se zamyslet nad tím, jak pomocí výše uvedených poznatků lze z 2D grafů z předcházející kapitoly získat 3D grafy. Jaké funkční hodnoty nabývá kulová funkce pro polopřímky, které neleží v  rovině obrazovky, resp. papíru? Jaký mají tvar oblasti, na kterých bude mít funkce stejnou hodnotu? Napište svoje odpovědi a nápady.

2.) What are the values of the spherical harmonics for the halflines which don't lie in the screen (or paper) plane? What is the shape of areas where the function has the same value? How to convert the 2D plots from previous section to these 3D plots? Write down your ideas and responses.

Vysvětlení 3D grafů

Explanation of 3D graphs

Připomeňme si znovu, že vykreslujeme druhé mocniny Legendrových polynomů (resp. kulových funkcí). První dva grafy již známe z předchozí kapitoly.

Let us remember again that we are drawing the square of the Legendre polynomials (i.e. spherical harmonics). You know the first two graphs from the previous section.

Graf 3 je prostorovou analogii grafu 1. Protože teď už ale nemůžeme nakreslit všechny polopřímky vycházející z počátku, protože by se nám vzájemně za sebou schovávaly a zastiňovaly, ořízli jsme celý prostor a ponechali jen kouli kolem počátku souřadnic, takže vidíme jen barvy průsečíků polopřímek a této koule.

Graph 3 is a spatial analogy of graph 1. It is impossible to draw all halflines from the origin because they would hide each other. We drew a sphere around the origin that restricts the halflines. The colours of the halflines' values are shown on the sphere in the place of intersection with the halfline.

Graf 4 je prostorovou analogii polárního grafu (graf 2). Zkonstruován je úplně stejně. Na každou polopřímku si vyneseme od počátku úsečku, jejíž délka vyjadřuje hodnotu. Protože je funkce krásně spojitá, vytvoří nám takto získané body krásnou hladkou plochu, která je nakreslena. Naopak, pokud chceme z tohoto grafu odečíst hodnotu pro nějaké zvolené úhly θ, φ, najdeme nejprve příslušnou polopřímku a změříme velikost úsečky mezi počátkem a průsečíkem polopřímky a vykreslené plochy.

Graph 4 is a spatial analogy of the polar graph (graph 2). It is made in the same way. On each halfline, we make a mark at the distance (from the origin) which is proportional to the function value. Because the drawn function is smooth, the marks build smooth surface which is displayed. Otherwise, if we want to read function values on this type of graph for the set angles θ, φ, we find firstly the appropriate halfline and then measure the distance between the origin and the intersection of the halfline and the surface.

Oběma prostorovými grafy lze pomocí myši otáčet, zvětšovat a zmenšovat je. Pokud se ztratíte v tom, jak máte obrázek momentálně natočen, restartujte program. Vrátí se do původního nastavení, ve kterém je osa z svisle.

You can rotate and zoom both spatial graphs using your mouse. If you forget the actual position, restart the program. The default setting will be used where the z-axis is vertical.

3.) Pohrejte si s programem, zobrazte si několik funkcí, prozkoumejte správnost uvedeného vysvětlení.

3.) Spend some time by playing with the program. Check the above explanation on the visualization of several functions.

4.) Prostorové grafy 3 a 4 vzniknout tak, že plošnými (1 a 2) nějak pohybujeme. Jak? Jak říkáme této symetrii?

4.) Spatial graphs 3 and 4 can be obtained by special movement of the planar ones (1 and 2). Describe the movement. How is this symmetry called?

5.) Tento úkol je podobný jako v předchozí kapitole a měl by vám pomoci si uvědomit, zda uvedeným grafům opravdu rozumíte. Vypněte zobrazení všech grafů. Nastavte uvedené hodnoty kvantových čísel, zapněte zadaný graf, nakreslete zbylé a pak si vše zkontrolujte. Opět by vám mělo pomoci si udělat nejprve pomocnou mřížku. Je jasné, že kreslení prostorových obrázků je náročné, ale pokuste se na papír zachytit alespoň podstatné rysy dané plochy. Druhou možností je, že graf 4 nebudete kreslit, ale zkusíte ho vymodelovat např. z plastelíny.

5.) This task is very similar to the one in previous section. It would help you to realize if you really understand the plots. Switch off all graphs. Set the given values of the quantum numbers and switch on proper graph. Then draw the other ones. Maybe the grid shown below would be useful. It's obvious that drawing the spatial images is very difficult, try to represent the significant characteristics of the surface. You can use modelling clay instead of drawing graph no. 4 as well.

a) l = 3, m = 2, zapněte graf 1

b) l = 4, m = 2, zapněte graf 3

c) l = 2, m = 0, zapněte graf 4

a) l = 3, m = 2, swith on graph 1

b) l = 4, m = 2, swith on graph 3

c) l = 2, m = 0, swith on graph 4

Pokud jste v tomto úkole udělali více chyb nebo si nejste jistí tím, že podle jednoho typu grafu správně odhadnete tvar jiného typu, vyřešte si ještě několik podobných úloh dle svého výběru.

If you made many mistakes or you are not sure that you can guess the shape of all graphs from one of them, do some more tasks with different numbers l and m.

6.) Aniž byste si znova četli vysvětlení, zkuste zformulovat vlastními slovy na základě zkušeností z předchozího příkladu, co vyjadřují 3D grafy (např. jak byste popsaly jejich význam někomu, kdo takovýto způsob zakreslení vidí poprvé).

6.) Without reading the explanation again, try to express in your own words the meaning of the spatial graphs (e.g. for someone who meets them at the first time in his life). Use your experience from the last task.

a) graf 3

a) graph 3

b) graf 4

b) graph 4

7.) Napište a zkuste porovnat výhody a nevýhody jednotlivých typů zobrazení (rovinného a prostorového, intenzitou barvy a polárním grafem).

7.) List and try to compare pros and cons of all types of visualization (especially plane and spatial, by color intensity, polar graph).