Vlnové funkce stacionárních stavů atomu vodíku

Wave function of the hydrogen atom eigenstates

Vlnová funkce popisující stacionární stav atomu vodíku se dá napsat jako součin tří funkcí, z nichž každá závisí pouze na jedné sférické souřadnici, tj.

The wave function of the hydrogen atom eigenstate can be written as a product of three functions. Each of them depends only on one spherical coordinate, i.e.

ψ_nlm(r, θ, φ) = R_nl(r) T_lm(θ) U_m(φ)

Jak je vidět z předchozího zápisu, tak jednotlivé stacionární stavy jsou „číslovány” pomocí tří kvantových čísel n, l, m. Pro jejich hodnoty platí následující podmínky:

As it is visible from the formula, each eigenstate is “numbered” by three quantum numbers n, l, m. Their values have to fulfil these conditions:

n = 1, 2, 3,...       l = 0,1,2, ... n-1       m = 0, ± 1, ± 2, ... ± l.

Význam jednotlivých částí vlnové funkce

Meaning of the wave function parts

• Radiální část vlnové funkce má tvar

• Radial part of the wave function is given by the formula

,

kde a = 5,3·10^-11 m je tzv. Bohrův poloměr a L_nl je polynom. Jedná se o tzv. Laguerrův polynom stupně n+1 a řádu 2l+1, což se obvykle zapisuje . Pro nás je důležité pouze to, že se jedná o polynom stupně n. Vidíme, že pro velké souřadnice r vlnová funkce exponenciálně klesá (exponenciální pokles převáží nad růstem polynomu).

where a = 5,3·10^-11 m is Bohr radius and L_nl is a polynomial. It's so-called associated Lagguere polynomial of orders n+1 and 2l+1, commonly written as . We can see that for big values of r the wave function falls as the exponential function.

• Tvar celé úhlové části můžeme často najít pod názvem kulová funkce. Jak je naznačeno výše, lze ji napsat jako součin dvou funkcí:

• The entire angular part of the wave function is usually called spherical harmonics. As said before, we can write it as a product of two functions:

Y_lm(θ, φ) = T_lm(θ) U_m(φ)

T_lm(θ)= P_lm(cos θ)

U_m(φ)=e^imφ =cos (imφ) + isin (imφ)

kde P_lm(x) jsou tzv. přidružené Legendrovy polynomy. Protože za proměnnou těchto polynomů dosazujeme cos θ, dostaneme po úpravách funkce, které se skládají z výrazů cos θ a sin θ.

Jak vidíme, závislost vlnové funkce na φ je velmi jednoduchá. Jedná se o jedinou část, která není reálná (přináší komplexnost do vlnové funkce), ale její absolutní hodnota se pro všechny φ rovná 1. To znamená, že pokud budeme počítat hustotu pravděpodobnosti výskytu (tj. spočteme |ψ_nlm|² = ψ_nlm ψ^*_nlm, kde hvězdička označuje komplexní sdružení) závislost na φ zcela vymizí.

where P_lm(x) are so-called associated Legendre polynomials. The part of the wave function dependent on φ is very simple. It is the only non-real part (it brings complexity to the wave function), but its absolute value is equal to 1 for all values of φ. It means that the probability density (i.e. |ψ_nlm|²) doesn't depend on φ.

V následujících úkolech se seznámíte s tím, jak jednotlivé funkce vypadají a jak vytvářejí celkovou vlnovou funkci.

In the following sections, we will familiarize with the shape of individual parts of the wave function and how they build it up.