Computer Tools

Programy

The computer tools were made in order to let students see and compare different methods (in different types of graphs) how to visualize spherical functions. However, their aim is not only to visualise functions. We enriched the tools by special properties that enabled us to prepare tasks to the workbook. Moreover, there is another important advantage of using these tools - students can check their answers by themselves without the aid of a tutor.

Pomocí připravených programů studenti vidí a porovnávají různé metody zobrazení studovaných funkcí. Úkolem programů ale není pouze vizualizace, obohatili jsme je o další vlastnosti, jež nám umožnily vytvořit interaktivní a zajímavé úkoly. Výhodou použití těchto programů je také to, že si studenti mohou zkontrolovat své výsledky sami, bez asistence učitele.

All programs used in our activities were made in the LabVIEW environment. The programs were compiled to be run without having entire LabVIEW installed, but at least presence of the LabVIEW Runtime Engine is required. The Runtime Engine and all programs can be downloaded for free from our website.

Všechny programy používané v našich aktivitách byly vytvořeny v prostředí LabVIEW. Proto je k jejich spuštění třeba, aby na počítači byl nainstalován LabVIEW Runtime Engine. Runtime Engine i všechny programy lze stáhnout zdarma z našich stránek.

3d_line

3d_poloprimka

The first program, 3d_line, is very simple. It draws a line from given angles - spherical coordinates. While using this program, students should remember spherical coordinates and familiarize with them. If you want to use polar graphs, it is necessary to understand spherical coordinates very well.

První program, 3d_poloprimka, je velmi jednoduchý. Nakreslí polopřímku podle zadaných dvou úhlů — sférických souřadnic. Při práci s tímto programem by si studenti měli připomenout sférické souřadnice a zvyknout si na ně, protože pro následující použití programů obsahujících polární grafy je porozumění sférickým souřadnicím nezbytné.

This program is used in the Spherical coordinates section.

Tento program se používá v části Kulové souřadnice.

Legendre_2D

Legendre_2D

The second program, Legendre_2D offers three different views of Legendre polynomial of the argument cos θ. The function is selected by entering the quantum numbers l and m. The first row of graphs contains the function itself; in the second row is the square of it (angular part of density of probability as we will see later). Figures on the left are “classical” XY graphs, the middle ones show the density of probability by intensity of colour, and the figures on the right are polar graphs (most used). All of the figures may be switched on or off independently. This feature is used during the students’ tasks (see later).

Druhý program v pořadí, Legendre_2D nabízí tři různé pohledy na Legendreovy polynomy s argumentem cos θ. Volbu funkce provedeme zadáním kvantových čísel l a m. První řada znázorňuje funkci jako takovou, ve druhé řadě je její druhá mocnina (jak uvidíme později, jedná se o úhlovou část hustoty pravděpodobnosti). Grafy vlevo jsou „klasické” kartézské grafy, prostřední zobrazují hustotu pravděpodobnosti intenzitou barvy a napravo jsou vykresleny polární grafy (nejčastěji používané). Všechny tyto grafy mohou být nezávisle vypnuty a zapnuty. Tuto vlastnost využívají úlohy z pracovního sešitu.

The task for better understanding of polar graph and Legendre polynomials of argument cos θ can be found in the Legendre polynomials part.

Úkoly pro prohloubení pochopení polárních grafů a Legendrových polynomů s argumentem cos θ jsou uvedeny v části Legendrovy polynomy.

Legendre_3D

Legendre_3D

In the next step we add third dimension and deal with an angular part of hydrogen wave function. As in previous program, Legendre_3D, students enter the l and m quantum numbers and the program shows the angular part of density of probability (square of appropriate spherical harmonic). Two figures in top line are identical to the graphs in previous program, the colour intensity graph and the polar graph. Bottom line contains a spherical cut through space (left one) - the intensity of colour shows agreement with function value - and a standard 3D polar graph (right one).

V dalším kroku přidáme grafům třetí rozměr a pracujeme s celou úhlovou částí vlnové funkce stacionárních stavů atomu vodíku. Stejně jako v předchozím programu i do programu Legendre_3D studenti zadají kvantová čísla l a m a program vykreslí úhlovou část hustoty pravděpodobnosti (druhou mocninu příslušné kulové funkce). Dva grafy v horní řadě jsou totožné s grafy z předcházejícího programu, spodní dva jsou jejich 3D alternativy. Graf vlevo dole je kulový řez prostorem, intenzita barvy odpovídá funkční hodnotě, vpravo dole je 3D polární graf.

This tool was designed for the Spherical harmonics section.

Tento program je vytvořen pro použití v části nazvané Kulové funkce.

3D_orbitals

3D_orbitaly

The last program, 3D_orbitals, contains both angular and radial parts of probability density of hydrogen atom eigenstates. Besides the graphs of separated radial part of the function (bottom left) and angular part (top left and top middle) the graphs offer their product in the form of planar cut (top right, the cutting plane contains z-axis) and spherical cut (bottom right). The radius of the spherical cut may be changed. The actual value of radius is shown in the graph of radial part and in the planar cut in the form of yellow line / circle.

Poslední program, 3D_orbitaly, ukazuje jak úhlovou, tak radiální část hustoty pravděpodobnosti vlastních stavů vodíku. Kromě grafů samostatné radiální části vlnové funkce (vlevo dole) a úhlové části (nahoře vlevo a vprostřed) nabízí program také jejich součin ve tvaru rovinného řezu (vpravo nahoře, řez je veden rovinou obsahující osu z) a kulového řezu (vpravo dole). Poloměr kulového řezu je možné změnit, přičemž aktuální hodnota poloměru je znázorněna v grafu radiální části a v rovinném řezu jako žlutá čára/kružnice.

This tool is used in the section about Radial part of the wave function.

Tento nástroj je používán v sekci o radiální části vlnové funkce.

Because the maxima of radial part of the wave function are not of similar height, the graph of probability density of finding electron has a “brightness zoom” (see picture). Entire graph can be brightened by moving the blue pointer on the colour scale. Places of value higher than the slider position are marked by white colour. These figures show the proper shape of orbitals = areas where the probability of finding electron is significant.

Protože jsou maxima radiální části rozdílně veliká, má graf hustoty pravděpodobnosti nalezení elektronu „barevný zoom” (viz obrázek). Celý graf tak může být „zjasněn” posunutím modrého jezdce po barevné stupnici. Místa, ve kterých je hustota pravděpodobnosti nalezení elektronu vyšší než poloha jezdce budou vykreslena bíle, ostatní se přeškálují tak, aby znovu využíval celý barevný rozsah. Celý graf se tak zjasní a bílá místa označují tvar orbitalů = míst, ve kterých je pravděpodobnost nalezení elektronu vyšší než nastavená hodnota.