Úvod do matematických metod fyziky (NFUF804)
Výklad a procvičení různých matematických metod používaných v úvodním fyzikálním kursu. Důraz je kladen na jejich praktickou aplikaci pro řešení konkrétních fyzikálních úloh.
- Systémy souřadnic: Nejpoužívanější souřadnice bodů v rovině a v prostoru: kartézské, polární, cylindrické a sférické. Zavedení a motivace: pohyb planet.
- Funkce a její derivace: Zopakování pojmu funkce a limity. Zavedení derivace funkce a metody jejího výpočtu. Fyzikální aplikace, pojem diferenciální rovnice a příklady (radioaktivní rozpad, vybíjení kondenzátoru, harmonický oscilátor). Tři důležitá zobecnění: derivace vyšších řádů (Taylorův rozvoj funkce), derivace funkce více proměnných (pojem parciální diferenciální rovnice), derivace vektorů (rychlost a zrychlení v nekartézských souřadnicích).
- Integrál funkce: Motivace pojmu primitivní funkce (tvar hladiny v rotující nádobě), neurčitý integrál. Základní pravidla a metody výpočtu (per partes, substituce, rozklad na parciální zlomky). Určitý integrál a jeho vlastnosti. Newtonova-Leibnizova formule. Četné fyzikální a geometrické aplikace. Nevlastní integrály; integrál Eulerův-Poissonův-Laplaceův a rozdělení rychlostí molekul.
Podmínky k získání zápočtu
- Alespoň 75% účast na výuce;
- dále je podmínkou zápočtu vypracování dvou úkolů, které studenti musejí odevzdat v předem stanoveném termínu.
Probíraná témata (ZS 2023/2024)
- 2. 10. 2023: Funkce - zopakování některých vlastností; limita - zavedení, vlastnosti a výpočet
- Tomuto tématu odpovídá kapitola 3 v učebním textu I (str. 18-29)
- Funkce - konceptuální otázky na zopakování funkcí
- 9. 10. 2023: Derivace - zavedení pojmu derivace, výpočet derivací
- Tomuto tématu odpovídají kapitoly 4.1 a 4.2 v učebním textu I (str. 30-39)
- Tabulka derivací elementárních funkcí
- Příklady na procvičení limit a derivací
- Výsledky si zkontrolujte na Wolfram alpha
- 16. 10. 2023: Integrál funkce - zavedení primitivní funkce, neurčitého integrálu, základní pravidla pro integrování, příklady
- Tomuto tématu odpovídá kapitola 1 (do 1.3.2 včetně) v učebním textu II (str. 4-14)
- Tabulka: výpočet neurčitého integrálu elementárních funkcí
- Příklady na procvičení výpočtu neurčitého integrálu přímou metodou
- 23. 10. 2023: Fyzikální a matematické aplikace derivací - L'Hospitalovo pravidlo, průběh funkce
- Tématu Matematické aplikace derivací odpovídá kapitola 4.4 v učebním textu I (str. 41-48)
- Úlohy vedoucí ke zjišťování lokálních extrémů funkce najdete i ve studijním textu pro řešitele FO (str. 27)
- 30. 10. 2023: Systémy souřadnic - kartézský a polární systém v 2D a kartézský, cylindrický a sférický systém v 3D
- Tématu Systémy souřadnic odpovídá kapitola 2 v učebním textu I (str. 7-17)
- 6. 11. 2023: Metody pro výpočet integrálů - integrace metodou per partes, integrace substituční metodou, integrace pomocí rekurentních vztahů
- Tomuto tématu odpovídá kapitola 1.3.2 v učebním textu II (str. 12-22)
- Příklady na procvičení těchto metod
- První domácí úkol - zadání
- datum zadání: 6. 11. 2023
- datum odevzdání: 27. 11. 2023
- úkol lze odevzdávat elektronicky i v papírové podobě
- 13. 11. 2023: Parciální derivace
- Podrobně rozepsaný příklad na parciální derivace funkce dvou proměnných
- Další příklady na procvičení parciálních derivací
- 20. 11. 2023: Určitý integrál - přes horní a dolní součet, Riemannův integrál, Newtonova-Leibnizova formule, vlastnosti určitého integrálu, střední hodnota funkce
- Tématu Určitý integrál odpovídá úvod kapitoly 1.4 v učebním textu II (str. 29-32)
- 27. 11. 2023: Taylorův rozvoj - přiblížení průběhu funkce v okolí určitého bodu pomocí polynomu
- Tomuto tématu odpovídá kapitola 4.4.3 v učebním textu I (str. 48-51) a kapitola 4.5.3 v učebním textu I (str. 56-59)
- 4. a 18. 12. 2023: Určitý integrál: příklady, aplikace - efektivní hodnota střídavého proudu, délka křivky v kartézských a polárních souřadnicích, výpočet plochy obrazce, objem rotačního tělesa, obsah pláště rotačního tělesa, těžiště tělesa
- Aplikace určitého integrálu lze nalézt např. ve 3. kapitole těchto skript VŠB - Technické univerzity Ostrava
- Druhý domácí úkol - zadání
- datum zadání: 18. 12. 2023
- datum odevzdání: 8. 1. 2024
- úkol lze odevzdávat elektronicky i v papírové podobě
Studijní text
- učební text I
- systémy souřadnic, limita funkce, derivace funkce
- učební text II
- integrály funkce jedné proměnné (do str. 34)
nahoru