Coulombův zákon (verze 2 - pro semináře na SŠ)

V prvním článku jste si mohli zopakovat o čem pojednává Coulombův zákon a jakým způsobem jej lze demonstrovat. Na předvedené metodě je pěkná především její přímočarost, nenáročnost na použité vybavení, jednoduchost provedení a solidní přesnost, kterou bychom mohli odhadnout řádově na jednotky procent. V rámci výuky na ZŠ i SŠ je tato přesnost dostačující. Přesto se nás studenti mohou zeptat, existují-li i přesnější měření. Právě kvůli této otázce je zde i další metoda, kterou vám chceme představit.

Coulombův zákon. Dva bodové náboje na sebe vzájemně působí elektrickou silou F_e. Tato síla je přímo úměrná velikosti jednotlivých nábojů Q₁, Q₂ a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r². Jsou-li tyto náboje souhlasné, síla je odpudivá; jsou-li opačné, síla je přitažlivá. Studenti na střední škole jsou seznamování s následujícím matematickým zápisem:

Na střední škole se (i v základním kurzu fyziky) studenti rovněž dozví, že při přivedení náboje na kulový vodič se tento rozmístí na jejím povrchu, v okolí takto nabité vodivé koule se vytváří radiální elektrické pole a uvnitř této elektricky nabité koule se ve všech místech účinky náboje na povrchu ruší, intenzita pole uvnitř je nulová a elektrický potenciál je všude stejný jako na povrchu. V praxi nemusí mít vodič vždy kulový tvar, může jím být například válec, či kvádr. Tyto efekty rovněž nepozorujeme pouze u uzavřených ploch tvořených z plného materiálu, ale i ze síťoviny. Obecně se pro dutý uzavřený vodič (ať už má oka, či nikoliv) vžil název Faradayova klec.

pozn.: Jednodušší pokusy s Faradayovou klecí naleznete v samostatném článku, který je jí věnován.

My se nyní zaměříme na fakt, že uvnitř dutého nabitého vodiče by měl být potenciál všude stejný jako na jeho povrchu. Doplňme, že tento fakt lze přímo odvodit z Coulombova zákona. Tj, neplatil-li by, nebude platit ani Coulombův zákon, alespoň tedy ne v té podobě, jak jej známe. Konkrétně se ukazuje, že ono „vyrušení“ je dáno především závislostí velikosti působící síly F_e na 1/r² (viz Coulombův zákon).

Zkusme tedy na chvíli předpokládat, že tomu tak není - že Coulombův zákon neplatí a že závislost na vzdálenosti nábojů r je jiná a platí, že

kde ε je malá kladná konstanta. Za tohoto předpokladu není složité odvodit, že potenciál ve středu nabité koule φ_in a na jejím povrchu φ₀ [viz obrázek vpravo] se lišší a tento rozdíl lze vyjádřit jako

(pozn.: Tento vztah lze za daných předpokladů odvodit analyticky. Chcete-li se procvičit, můžete si toto sami vyzkoušet. Celé odvození pro kontrolu naleznete zde.)

Pro změření rozdílu potenciálů je zapotřebí nějakého měřidla, či indikátor. K tomuto účelu jsme sestavily jednoduchý indikátor (viz obrázek níž, jehož hlavní částí je FET (field-effect transistor) BS170. Pro detekci změny potenciálů mezi vstupními svorkami A a B je použita zelená LED dioda. Byl-li na počátku mezi kontakty nulový rozdíl potenciálů, jsme schopni pomocí změny jasu ledky detekovat případnou změnu. Naopak, zůstává-li jas neměnný, nemění se ani rozdíl potenciálů mezi svorkami.

Během testování indikátoru se nám podařilo určit, že jsme bezpečně schopni rozlišit potenciálový rozdíl 50 mV.

Celý indikátor (včetně 9V baterie použité k napájení) umístíme na polystyrénovou podložku do Faradayovy klece. Jednu svorku připojíme ke kleci, druhá je připojena k plechovce umístěné spolu s indikátorem uvnitř klece. Plechovka zde reprezentuje „místo“ uvnitř klece mezi nímž a klecí určujeme rozdíl potenciálů. (Viz obrázek)

Při prvních pokusech jsme zjistili, že indikátor reaguje i na přiblížení nabité tyče do blízkosti Faradayovy klece. Viz obrázky (kliknutím na obrázek je třeba jej zvětšit - detail diody bude patrnější):

Porovnání jasu diody, pokud je nabitá tyč daleko (vlevo) a blízko (vpravo).

Rozhodli jsme se, že budeme postupně zakrývat naši klec pomocí alobalu. Nadále jsme k nabíjení klece používali vysokonapěťový zdroj 25 kV. Jas LED diody indikátoru se přestal měnit až při téměř úplně utěsněné kleci - viz obrázek níže. (Zůstala pouze dírka, skrz kterou byla LEDka vidět.)

Z našeho měření tedy plyne, že potenciálový rozdíl mezi povrchem klece a místem uvnitř (na plechovce umístěné uvnitř) byl menší než 50 mV. S jakou přesností jsme však dokázali platnost Coulombova zákona? Abychom zodpověděli tuto otázku musíme dosadit do vztahu pro rozdíl potenciálů (komentář k němu viz výše)

a určit konstantu ε

Jak je vidět, tak nepřesnost exponentu vzdálenosti r v Coulombově zákoně je menší než 10^-5. Podíváte-li se na tabulku níže zjistíte jak moc jsme se přiblížili historickým experimentům, které rovněž ověřovali Coulombův zákon.

• Jackson J. D., Classical Electrodynamics, 1998, ISBN 978-0471309321.
• Sedlák, B., Štoll, I., Elektřina a magnetismus, 2002, Academia, Praha, ISBN 80-200-1004-1.

V textu se objevuje odvození pro „Pole uvnitř homogenně nabité sféry v případě, že by intenzita od nábojů neklesala jako 1/r², ale jako 1/r^2+ε“. Zde odkaz na něj uvádíme pro přehlednost ještě jednou (a ve více formátech):

• Pole uvnitř homogenně nabité sféry (pdf)
• Pole uvnitř homogenně nabité sféry (docx)